Funções

 Exercícios resolvidos:

1 - Considere três funções f, g e h, tais que:
A função f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade.
A função g atribui a cada país, a sua capital
A função h atribui a cada número natural, o seu dobro.

Podemos afirmar que, das funções dadas, são injetoras:
a) f, g e h 
b) f e h 
c) g e h
d) apenas h
e) nenhuma delas

Solução:

Sabemos que numa função injetora, elementos distintos do domínio, possuem imagens distintas, ou seja: 
x₁ ¹ x₂ Þ f(x₁) ¹ f(x₂) .

Logo, podemos concluir que:

f não é injetora, pois duas pessoas distintas podem ter a mesma idade.
g é injetora, pois não existem dois países distintos com a mesma capital.
h é injetora, pois dois números naturais distintos, possuem os seus dobros também distintos.
Assim é que concluímos que a alternativa correta é a de letra C.

2 - Seja f uma função definida em R - conjunto dos números reais - tal que
f(x - 5) = 4x. Nestas condições, pede-se determinar f(x + 5).

Solução:

Vamos fazer uma mudança de variável em f(x - 5) = 4x, da seguinte forma:
x - 5 = u \ x = u + 5

Substituindo agora  (x - 5)  pela nova variável u  e  x por (u + 5), vem:
f(u) = 4(u + 5) \ f(u) = 4u + 20

Ora, se f(u) = 4u + 20, teremos:
f(x + 5) = 4(x+5) + 20 \ f(x+5) = 4x + 40

3 – UEFS 2005-1 ) Sabendo-se que a função real f(x) = ax + b é tal que f(2x² + 1) = - 2x² + 2,
para todo x Î R, pode-se afirmar que b/a é igual a
a) 2  
b) 3/2   
c) 1/2   
d) -1/3   
e) -3

Solução:

Ora, se f(x) = ax + b, então f(2x² + 1) = a(2x² + 1) + b 
Como f(2x² + 1) = - 2x² + 2,  vem, igualando:

a(2x² + 1) + b = - 2x² + 2
Efetuando o produto indicado no primeiro membro, fica:
2ax² + a + b = -2x² + 2

Então, poderemos escrever:  2a  = -2  \ a = -2 /2 = -1
E, também, a + b = 2 ; como a = -1, vem substituindo: (-1) + b = 2 \ b = 2 + 1 = 3

Logo, o valor procurado a/b será  a/b = -1 / 3 , o que nos leva tranquilamente à alternativa D.

Agora resolva este:

A função f em R é tal que f(2x) = 3x + 1. Determine 2.f(3x + 1).
Resp: 9x + 5