Equação Reciproca

 Seja a equação racional inteira a₀.x ⁿ + a₁.x ^n-1 + a₂.x ^n-2 + ... + a_n = 0, ordenada segundo as potências decrescentes de x , com a₀ , a₁ , ... , a_n números reais sendo a₀¹ 0 e n inteiro positivo.

Diz-se que esta equação é recíproca se e somente se os termos eqüidistantes dos extremos, forem iguais ou simétricos. Sendoiguais, teremos uma equação recíproca de 1ª espécie e, sendo opostos, teremos umaequação recíproca de 2ª espécie.

Exemplos:
2x⁵ + 3x⁴ - 5x³ - 5x² + 3x + 2 = 0 - equação recíproca de 1ª espécie
2x⁵ - 3x⁴ - 5x³ + 5x² + 3x - 2 = 0 - equação recíproca de 2ª espécie.

Ao se deparar com uma equação recíproca, deve-se sempre verificar imediatamente se 1 ou -1 são raízes da equação, pois isto permitirá abaixar o grau da equação, através de uma divisão do primeiro memb
Fazendo x + 1/x = y , vem:
2y² - 4 - y - 6 = 0
2y² - y - 10 = 0

Resolvendo esta equação do 2º grau, vem: y = 5/2 ou y = -2 .
Substituindo em x + 1/x = y, vem:
x + 1/x = 5/2 \ 2x² - 5x + 2 = 0 \ x = 2 ou x = 1/2.
x + 1/x = -2 \ x² + 2x + 1 = 0 \ (x + 1)² = 0 \ x = -1 ou x = -1.

Portanto, o conjunto verdade ou conjunto solução da equação recíproca proposta será:
S = {1, -1, -1, 2, 5/2} = {-1, 1, 2, 5/2}
Observe que -1 é uma raiz de ordem de multiplicidade 2 ou seja, -1 é uma raiz dupla.

Fim