Funções, Inversa e Composta

 1 - FUNÇÃO INVERSA

Dada uma função f : A ® B , se f é bijetora , então define-se a função inversa f ^-1 como sendo a função de B em A , tal que f ^-1 (y) = x .

Veja a representação a seguir:

É óbvio então que:
a) para obter a função inversa , basta permutar as variáveis x e y .
b) o domínio de f ^-1 é igual ao conjunto imagem de f .
c) o conjunto imagem de f ^-1 é igual ao domínio de f .
d) os gráficos de f e de f ^-1 são curvas simétricas em relação à reta y = x ou seja , à bissetriz do primeiro quadrante .

Exemplo:
Determine a INVERSA da função definida por y = 2x + 3.
Permutando as variáveis x e y, fica: x = 2y + 3
Explicitando y em função de x, vem:
2y = x - 3 \ y = (x - 3) / 2, que define a função inversa da função dada.

O gráfico abaixo, representa uma função e a sua inversa.

Observe que as curvas representativas de f e de f^-1, são simétricas em relação à reta 
y = x, bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes.

Exercício resolvido:
A função f: R ® R , definida por f(x) = x² :
a) é inversível e sua inversa é f ^-1 (x) = Ö x
b) é inversível e sua inversa é f ^-1(x) = - Ö x
c) não é inversível
d) é injetora
e) é bijetora

SOLUÇÃO:
Já sabemos que somente as funções bijetoras são inversíveis, ou seja, admitem função inversa. Ora, a função f(x) = x², definida em R - conjunto dos números reais - não é injetora, pois elementos distintos possuem a mesma imagem. Por exemplo, 
f(3) = f(-3) = 9. Somente por este motivo, a função não é bijetora e, em conseqüência, não é inversível.

Observe também que a função dada não é sobrejetora, pois o conjunto imagem da função f(x) = x² é o conjunto R ⁺ dos números reais não negativos, o qual não coincide com o contradomínio dado que é 
igual a R. A alternativa correta é a letra C.

2 - FUNÇÃO COMPOSTA

Chama-se função composta ( ou função de função ) à função obtida substituindo-se a variável independente x , por uma função.

Simbologia : fog (x) = f(g(x)) ou gof (x) = g(f(x)) .

Veja o esquema a seguir:

Obs : atente para o fato de que fog ¹ gof , ou seja, a operação " composição de funções " não é comutativa .

Exemplo:
Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = 5x, pede-se determinar gof(x) e fog(x).
Teremos:
gof(x) = g[f(x)] = g(2x + 3) = 5(2x + 3) = 10x + 15
fog(x) = f[g(x)] = f(5x) = 2(5x) + 3 = 10x + 3
Observe que fog ¹ gof .

Fim