Funções, Inversa e Composta

A função f: R ® R , definida por f(x) = x² :
a) é inversível e sua inversa é f ^-1 (x) = Ö x
b) é inversível e sua inversa é f ^-1(x) = - Ö x
c) não é inversível
d) é injetora
e) é bijetora

SOLUÇÃO:
Já sabemos que somente as funções bijetoras são inversíveis, ou seja, admitem função inversa. Ora, a função f(x) = x², definida em R - conjunto dos números reais - não é injetora, pois elementos distintos possuem a mesma imagem. Por exemplo, 
f(3) = f(-3) = 9. Somente por este motivo, a função não é bijetora e, em conseqüência, não é inversível.

Observe também que a função dada não é sobrejetora, pois o conjunto imagem da função f(x) = x² é o conjunto R ⁺ dos números reais não negativos, o qual não coincide com o contradomínio dado que é 
igual a R. A alternativa correta é a letra C.

Exercícios resolvidos:

1 - Sendo f e g duas funções tais que: f(x) = ax + b e g(x) = cx + d . Podemos afirmar que a igualdade gof(x) = fog(x) ocorrerá se e somente se:
a) b(1 - c) = d(1 - a) 
b) a(1 - b) = d(1 - c) 
c) ab = cd 
d) ad = bc 
e) a = bc

SOLUÇÃO:
Teremos:
fog(x) = f[g(x)] = f(cx + d) = a(cx + d) + b \ fog(x) = acx + ad + b
gof(x) = g[f(x)] = g(ax + b) = c(ax + b) + d \ gof(x) = cax + cb + d

Como o problema exige que gof = fog, fica:
acx + ad + b = cax + cb + d

Simplificando, vem:
ad + b = cb + d
ad - d = cb - b \ d(a - 1) = b(c - 1), que é equivalente a d(a - 1) = b(c - 1), o que nos leva a concluir que a alternativa correta é a letra A. .

2 - Sendo f e g duas funções tais que fog(x) = 2x + 1 e g(x) = 2 - x então f(x) é:
a) 2 - 2x 
b) 3 - 3x 
c) 2x - 5 
*d) 5 - 2x 
e) uma função par.

SOLUÇÃO:
Sendo fog(x) = 2x + 1, temos: f[g(x)] = 2x + 1
Substituindo g(x) pelo seu valor, fica: f(2 - x) = 2x + 1
Fazendo uma mudança de variável, podemos escrever 2 - x = u, sendo u a nova variável. Portanto, x = 2 - u.

Substituindo, fica:
f(u) = 2(2 - u) + 1 \ f(u) = 5 - 2u
Portanto, f(x) = 5 - 2x , o que nos leva à alternativa D.

Agora resolva esta:

Dadas as funções f(x) = 4x + 5 e g(x) = 2x - 5k, ocorrerá gof(x) = fog(x) se e somente se k for igual a:
*a) -1/3 
b) 1/3 
c) 0 
d) 1 
e) -1