Logarítimos

 1 - INTRODUÇÃO

O conceito de logaritmo foi introduzido pelo matemático escocês John Napier (1550-1617) e aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561-1630). A descoberta dos logaritmos deveu-se sobretudo à grande necessidade de simplificar os cálculos excessivamente trabalhosos para a época, principalmente na área da astronomia, entre outras. Através dos logaritmos, pode-se transformar as operações de multiplicação em soma, de divisão em subtração, entre outras transformações possíveis, facilitando sobremaneira os cálculos. Na verdade, a idéia de logaritmo é muito simples, e pode-se dizer que o nome logaritmo é uma nova denominação para expoente, conforme veremos a seguir.

Assim, por exemplo, como sabemos que 4² = 16 , onde 4 é a base, 2 o expoente e 16 a potência, na linguagem dos logaritmos, diremos que 2 é o logaritmo de 16 na base 4. Simples, não é?
Nestas condições, escrevemos simbolicamente: log₄16 = 2.

Outros exemplos:
15² = 225, logo: log₁₅225 = 2
6³ = 216, logo: log₆216 = 3
5⁴ = 625, logo: log₅625 = 4
7⁰ = 1, logo: log₇1 = 0

2 - DEFINIÇÃO

Dados os números reais b (positivo e diferente de 1), N (positivo) e x , que satisfaçam a relação b^x = N, dizemos que x é o logaritmo de N na base b. Isto é expresso simbolicamente da seguinte forma: log_bN = x. Neste caso, dizemos que b é a base do sistema de logaritmos, N é o logaritmando ou antilogaritmo e x é o logaritmo.

Exemplos:
a) log₂8 = 3 porque 2³ = 8.
b) log₄1 = 0 porque 4⁰ = 1.
c) log₃9 = 2 porque 3² = 9. 
d) log₅5 = 1 porque 5¹ = 5.

Notas:

1 - quando a base do sistema de logaritmos é igual a 10 , usamos a expressãologaritmo decimal e na representação simbólica escrevemos somente logN ao invés de log₁₀N. Assim é que quando escrevemos logN = x , devemos concluir pelo que foi exposto, que 10^x = N.

Existe também um sistema de logaritmos chamado neperiano (em homenagem a John Napier - matemático escocês do século XVI, inventor dos logaritmos), cuja base é o número irracional 
e = 2,7183... e indicamos este logaritmo pelo símbolo ln. Assim, 
log_eM = ln M. Este sistema de logaritmos, também conhecido como sistema de logaritmos naturais, tem grande aplicação no estudo de diversos fenômenos da natureza.

Exemplos:
a) log100 = 2 porque 10² = 100. 
b) log1000 = 3 porque 10³ = 1000. 
c) log2 = 0,3010 porque 10^0,3010 = 2. 
d) log3 = 0,4771 porque 10^0,4771 = 3. 
e) ln e = 1 porque e¹ = e = 2,7183... 
f) ln 7 = log_e7

2 - Os logaritmos decimais (base 10) normalmente são números decimais onde a parte inteira é denominada característica e a parte decimal é denominada mantissa .

Assim por exemplo, sendo log20 = 1,3010, 1 é a característica e 0,3010 a mantissa. 
As mantissas dos logaritmos decimais são tabeladas.

Consultando a tábua de logaritmo (qualquer livro de Matemática traz) , podemos escrever por exemplo que log45 = 1,6532. As tábuas de logaritmos decimais foram desenvolvidas por Henry Briggs, matemático inglês do século XVI. Observe que do fato de termos log45 = 1,6532 , podemos concluir pela definição de logaritmo que 
10^1,6532 = 45.

3) Da definição de logaritmo, infere-se (conclui-se) que somente os números reais positivos possuem logaritmo. Assim, não têm sentido as expressões log₃(-9) , log₂0 , etc.

4) É fácil demonstrar as seguintes propriedades imediatas dos logaritmos, todas decorrentes da definição:

P1) O logaritmo da unidade em qualquer base é nulo, ou seja: 
log_b1 = 0 porque b⁰ = 1.

P2) O logaritmo da base é sempre igual a 1, ou seja: log_bb = 1 , porque b¹ = b.

P3) log_bb^k = k , porque b^k = b^k .

P4) Se log_bM = log_bN então podemos concluir que M = N. Esta propriedade é muito utilizada na solução de exercícios envolvendo equações onde aparecem logaritmos (equações logarítmicas).

P5) b^logbM = M ou seja: b elevado ao logaritmo de M na base b é igual a M.

3 - PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS

P1 - LOGARITMO DE UM PRODUTO

O logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores, ou seja:
log_b(M.N) = log_bM + log_bN

Exemplo: log20 =log(2.10) = log2 + log10 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Observe que como a base não foi especificada, sabemos que ela é igual a 10.

P2 - LOGARITMO DE UM QUOCIENTE

O logaritmo de uma fração ordinária é igual a diferença entre os logaritmos do numerador da fração e do denominador, ou seja:
log_b(M/N) = log_bM - log_bN

Exemplo: log0,02 = log(2/100) = log2 - log100 = 0,3010 - 2,0000 = -1,6990. Do exposto anteriormente, podemos concluir que, sendo log0,02 = -1,6990 então 10^-1,6990 = 0,02.

Da mesma forma podemos exemplificar: 
log5 = log(10/2) = log10 - log2 = 1 - 0,3010 = 0,6990.

Observação: a não indicação da base, subtende-se logaritmos decimal (base 10).

Nota: Chamamos de cologaritmo de um número positivo N numa base b, ao logaritmo do inverso multiplicativo de N, também na base b. Ou seja:
colog_bN = log_b(1/N) = log_b1 - log_bN = 0 - log_bN = - log_bN.
(menos log de N na base b).
Exemplo: colog10 = -log10 = -1.

P3 - LOGARITMO DE UMA POTENCIA

Temos a seguinte fórmula, facilmente demonstrável: log_bM^k = k.log_bM.
Exemplo: log₅25⁶ = 6.log₅25 = 6.2 = 12.

P4 - MUDANÇA DE BASE

Às vezes, para a solução de problemas, temos necessidade de mudar a base de um sistema de logaritmos, ou seja, conhecemos o logaritmo de N na base b e desejamos obter o logaritmo de N numa base a . Esta mudança de base, muito importante na solução de exercícios, poderá ser feita de acordo com a fórmula a seguir, cuja demonstração não apresenta dificuldades, aplicando-se os conhecimentos aqui expostos.

Exemplos: 
a) log₄16 = log₂16 / log₂4 (2 = 4:2)
b) log₈64 = log₂64 / log₂8 (2 = 6:3)
c) log₂₅125 = log₅125 / log₅25 = 3 / 2 = 1,5. Temos então que 25^1,5 = 125.

Notas:
1 - na resolução de problemas, é sempre muito mais conveniente mudar um log de uma base maior para uma base menor, pois isto simplifica os cálculos.

2 - Duas conseqüências importantes da fórmula de mudança de base são as seguintes:
a) log_bN = logN / logb (usando a base comum 10, que não precisa ser indicada). 
b) log_ba . log_ab = 1

Exemplos: 
a) log₃7 . log₇3 = 1 
b) log₂3 = log3 / log2 = 0,4771 / 0,3010 = 1,5850

4 - A FUNÇÃO LOGARÍTIMICA

Considere a função y = a^x , denominada função exponencial, onde a base a é um número positivo e diferente de 1, definida para todo x real.

1 - para a > 1, as funções exponencial e logarítmica são CRESCENTES.
2 - para 0 < a ¹ 1, elas são DECRESCENTES.
3 - o domínio da função y = log_ax é o conjunto R₊^* .
4 - o conjunto imagem da função y = log_ax é o conjunto R dos números reais.
5 - o domínio da função y = a^x é o conjunto R dos números reais.
6 - o conjunto imagem da função y = a^x é o conjunto R₊^* .
7 - observe que o domínio da função exponencial é igual ao conjunto imagem da função logarítmica e que o domínio da função logarítmica é igual ao conjunto imagem da função exponencial. Isto ocorre porque as funções são inversas entre si.

Fim