Trigonometria, Multiplicação e Divisão de arcos

 Exercício resolvido

Simplifique a expressão y = cossec2a - cotg2a

Solução:
Sabemos que cossec2a = 1 / sen2a e cotg2a = cos2a / sen2a . Logo,
y = (1/sen2a) - (cos2a/sen2a)
Simplificando, vem: y = (1 - cos2a) / sen2a . Portanto,

Portanto, cossec2a - cotg2a = tga.
Lembre-se que 1 - cos²a = sen²a.
Somente a título de ilustração, vamos ler a expressão resultado: A cossecante do dobro de um arco subtraída da cotangente do dobro do mesmo arco é igual à tangente do arco. Aqui pra nós: a linguagem simbólica não é muito mais fácil?

3 - Transformação de somas em produto

Vamos deduzir outras fórmulas importantes da Trigonometria.
As fórmulas a seguir são muito importantes para a simplificação de expressões trigonométricas.

Já sabemos que:
sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
sen (a - b) = sen a . cos b - sen b . cos a
Somando membro a membro estas igualdades, obteremos:
sen(a + b)+ sen(a - b) = 2.sen a . cos b. 

Fazendo 
a + b = p 
a - b = q 
teremos, somando membro a membro:
2a = p + q, de onde tiramos a = (p + q) / 2
Agora, subtraindo membro a membro, fica:
2b = p - q, de onde tiramos  b = (p - q) / 2

Daí então, podemos escrever a seguinte fórmula:

Exemplo: sen50º + sen40º = 2.sen45º.cos5º

Analogamente, obteríamos as seguintes fórmulas:

Exemplos:

cos 30º + cos 10º = 2.cos20º.cos10º
cos 60º - cos 40º = -2.sen50º.sen10º
sen 70º - sen 30º = 2.sen20º.cos50º.